SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Hola a tod@s! Hoy en clase hemos visto los sistemas de inecuaciones con 2 incógnitas. Para ello debemos seguir los siguientes pasos :

    1. Representar las rectas asociadas a cada una de las inecuaciones.
    2. Determinar el semiplano que es solución de cada inecuación.
    3. La solución es la intersección de los dos semiplanos.

         Ejemplo :

              2x + y < 3  { y = 3 - 2x
              x + y > 1    { y = 1 - x
 
    4.Después damos valores a las variables para obtener distintos puntos y poder trazar una recta en el plano.
                     

     5. Por último comprobamos con un punto cualquiera que la solución sea correcta. 

  

      De deberes para el viernes 22 de diciembre hay de la página 84 los ejercicios 19 y 22.

      

                             
                         

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Hola a tod@s! Hoy en clase hemos dado los sistemas de inecuaciones con una incógnita, para poderlas resolver debemos de seguir los siguientes pasos:

1º- Resolver en cada una de las inecuaciones del sistema.
2º- Hallar la intersección de las inecuaciones(puntos comunes).

Para finalizar cuando tenemos todas las soluciones de las inecuaciones,  coges todas y las pones en una línea ordenadas de menos a mayor e indicando di son abiertas o cerradas. Después pintas las soluciones de cada inecuacion con colores distintos y donde coincidan esa sera la solución.

De deberes para mañana hay: de la pg 83 el ej 18 menos el apartado e que es el del ejemplo de clase

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Hola a tod@s! Hoy en clase hemos dado los sistemas de inecuaciones con una incógnita, para poderlas resolver debemos de seguir los siguientes pasos:

1º- Resolver en cada una de las inecuaciones del sistema.
2º- Hallar la intersección de las inecuaciones(puntos comunes).
Para finalizar cuando tienes todas las soluciones de las inecuaciones, coges todas y las pones en una línea ordenadas de menos a mayor e indicando di son abiertas o cerradas. Después pintas las soluciones de cada inecuacion con colores distintos y donde coincidan esa sera la solución.

De deberes para mañana hay: de la pg 83 el ej 18 menos el apartado e que es el del ejemplo de clase

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS

Hola a todos! Ayer en clase aprendimos a hacer las inecuaciones de grado superior o igual a 2. Para saber hacerlas primero:
-Decomponemos en factores la inecuación
-Estudiamos el signo de cada factor en los intervalos que marcan sus raices
-Por ultimo, hacemos lo mismo pero en este caso estudiamos el signo de cada factor en la inecuación

Ej:

En este ejemplo vemos como se hayan las raíces y se colocan en una tabla en horizontal como raíces y en vertical como factores, después de esto se hace lo que hemos dicho antes de estudiar los signos de los factores en los intervalos de la inecuación.



Otro ejemplo es:

Begoña mando de deberes de la página 80 en número 7 a-b-c-d y de la página 81 el número 10 a-b-c-d

Lunes 11 diciembre 2017

Hola a todos! Hoy en clase hemos empezado tema nuevo INECUACIONES Y SISTEMAS.

Una inecuación  es la relación algebraica que se expresa mediante desigualdades.Los valores que hacen que la desigualdad sea verdadera son las soluciones de la inecuación.

Una inecuación puede:

• NO TENER SOLUCIÓN
• TENER ALGUNAS SOLUCIONES
• TENER INFINITAS SOLUCIONES

EJEMPLO:

Hasta aquí hemos dado,de deberes ha mandado de la página 79 nº 1 y 3.

Adiossss!

ECUACIONES RACIONALES

Las ecuaciones racionales son las formadas por fracciones algebraicas, es decir, aquellas en las que la incógnita aparece en los denominadores.

 $${ 3 }{ x } +5=\frac { 4x+6 }{ x+2 }$$
Proceso:
1. Factorizar
2. Simplificar (si es posible)
3. Poner denominador común
4. Operar los numeradores
5. Igualar los numeradores (para poder operar sin los denominadores)
6. Ordenar la ecuación de 2º grado
7. Resolver ecuación
8. Comprobar


Ejemplo:

$$\frac { x-3 }{ { x }^{ 2 }-4 } +\frac { x }{ x-2 } =3$$
$$\frac { x-3 }{ ({ x-2)(x+2) } } +\frac { x }{ x-2 } =3$$
$$\frac { x-3+x(x+2) }{ ({ x-2)(x+2) } } =\frac { 3(x-2)(x+2) }{ (x-2)(x+2) }$$
$$x-3+{ x }^{ 2 }+2x={ 3x }^{ 2 }-12$$
$$0={ 2x }^{ 2 }-3x-12$$
$$x=\frac { 3\pm \sqrt { 9+72 }  }{ 4 } =\frac { 3\pm 9 }{ 4 }$$
Posibles soluciones:  x=3
                                  x= -3/2

Tengo que sustituir las soluciones de los denominadores de la ecuación inicial.
- Si uno de ellos es 0 no es solución.
- Si todos son distintos de 0 es solución.


Soluciones ejercicios(10-11-17)
49: a) x= 2
      c) x= -8
      d) x= 3
      e) x= -2
47: x= 7
      x= -3
49: a) x= 3/ -3/ 2
      b) x= 2(triple)
52: a) x= 1/ -1
      b) x= 2/ 24/13


DEBERES
Pg. 58 ejercicio 9(c,d)

Hola chic@s esto es lo que hemos dado hoy lunes 6.

Suma (resta) de fracciones algebráicas
1°Simplificar, si se puede, las fracciones a sumar (restar).
2°Poner las fracciones equivalentes con denominador común.
3°Operar con los numeradores dejando el denominador común.
4°Simplificar el resultado, si se puede.

2°Todos los factores del denominador al máximo exponente 

TEOREMA DEL RESTO/ FACTOR COMÚN/ FRACCIONES ALGEBRAICAS

Teorema del resto

El resto R de la división de un polinomio P(x) entre x-a es igual al valor numérico del polinomio en x=a, es decir, R= P(a).

Factor común

Fracciones algebraicas

Fracción irreducible: no se puede simplificar más, cuando no tienen ningún factor en común numerador y denominador.

FACTORIZACIÓN

Recordatorio:

Identidades Notables

(a+b)^2= a^2+b^2+2ab

(a-b)^2= a^2+b^2-2ab

(a+b)(a-b)= a^2-b^2

↓↓↓↓↓

Esto sirve para factorizar.

Raíz de un polinomio. Factorización

Las raíces de un polinomio P(x) son los valores de x que lo hacen cero, es decir, las soluciones de la ecuación P(x)=0.

• Un polinomio de grado n tiene, como máximo, n raíces reales.
• Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, estas son divisores del término independiente. 

Factorización

Polinomio Irreducible

Un polinomio es irreducible si no se puede factorizar.

Dos polinomios P(x) y Q(x) son primos entre sí, si no tienen ningún factor en común de grado mayor o igual que 1.

Deberes:
Pág 41 ejs 40, 43a,b,c , 45, 49.

REGLA DE RUFFINI

↓REGLA DE RUFFINI
Ayer aprendimos a dividir polinomios con la regla de Ruffini

Sirve para dividir polinomios entre (x-a)

TEOREMA DEL FACTOR
Si el valor numérico del polinomio P(x) en x=a es 0, entonces P(x) tiene como factor x-a y por tanto, P(x) puede escribirse de la forma:
                                               
                                                       P(x)=(x-a)C(x)
La raíz de un polinomio es el valor que hace que el polinomio valga 0

 Como el resto es cero, x=1 es una raíz de P(x)
 Puedo descomponer P(x)=P(x)=(x-1)*(2x3-5x2-4x-9)

Cómo introducir lenguaje matemático en el blog

Como vais viendo hasta ahora escribir documentos en lenguaje matemático no es tarea sencilla.

He preparado el blog para que lo podáis hacer de una forma relativamente sencilla:

1. Vamos a la página Daum Equation Editor
2. Escribís lo que necesitéis utilizando los botones de la parte superior.
3. En la parte inferior de la página se genera un código que debéis copiar y pegar en el blog entre dobles símbolos de dolar (sin dejar espacio entre ellos):  

                         $ $ Código Latex $ $

Por ejemplo, si me genera el siguiente código:  

                             

                       \frac { x }{ y } -{ x }^{ 2 }

Al ponerlo entre los dobles símbolos del dolar, se verá como sigue:

                       $$\frac { x }{ y } -{ x }^{ 2 }$$

División entera de polinomios y correción de un apartado.

Hoy en clase nos han explicado la división entera de polinomios y además hemos corregido el apartado d del ejercicio 13 de la página 36.

DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
Dividir un polinomio D(x) entre otro d(x) consiste en encontrar dos polinomios,C(x) y R(x), que cumplan:D(x)=d(x)*C(x)+R(x)  =   D=d*C+r
               D(x)/d(x)=C(x)+R(x)/d(x)   =   D/D=c+r/d

Ejemplo:

  

Ahora voy a poner el apartado corregido

Como tarea tenemos de la página 36 el ejerciicio 14 y de la página 48 el ejercicio 72,

Expresiones Algebraicas

Hola a tod@s !✋

Hoy en clase de matemáticas hemos dado lo que son las expresiones algebraicas,los polinomios,cómo se suman y restan, y cómo se multiplican.

En primer lugar:

• Una expresión algebraica, es cualquier combinación de números y letras, relacionados con operaciones aritméticas.
• Las letras reciben el nombre de variables ( se representan con números).
• Valor númerico , es el resultado de sustituir las letras por números.

         Ej:2x+5 , A: l^2 , ( a +b )^2: a^2 + b^2 + 2ab

• Polinomios: Es la suma de monomios. Su grado es de mayor grado que contenga.
• Grado: Es la suma de los exponentes de las variables.

         Ej: P(x): 5x^2 - 3x - 1     G.P: 2

• Monomio:Es el producto de un número real y una o más variables.

         Ej: 2x , 8y , 12xy , xy^2

Ahora voy a explicar:

• Suma y resta de polinomios:

Sumamos o restamos los monomios semejantes.
      Ej:
         P(x):3x^3 - 2 2x^2 + 1
         Q(x):5x^3 + 3x^2 - 2x - 2
         P(x) + Q(x) : ( 3x^3 - 2x^2 + 1) + ( 5x^3 + 3x^2 - 2x - 2): 8x^3 - x^2 - 2x - 1

     Ej:
        P(x) - Q (x) : 83x^3 - 2x^2 + 1) - ( 5 x^3 + 3x^2 -2x - 2) : -2x^3 -5x^2 + 2x + 3

• Producto de Polinomios:

Monomio  por polinomios: multiplicar monomio por monomio aplicando la propiedad distributiva.
       
           Ej: R(x): 2x^2
R(x) · P(x) : 2x^2 ( 3x^3 - 2x^2 + 1). 6x^5 - 4x^4 + 2x^2

Tarea:
Pág 35 ej 6,7   Pág 36 ej 13

Espero que mi explicación os haya servido de ayuda.

CORECCIÓN DE EJERCICIOS

        

     Hoy en clase hemos estado corrigiendo los deberes del día anterior y aquie os dejo las correcones:

   También hemos hecho algunos ejercicios estos son dos de ellos (sin corregir):

Los deberes mandados hoy son: Pg 22 ejs 66 y 67 y pg 28 ejs 120 y 126.

EXPRESIONES LOGARÍTMICAS. CAMBIO DE BASE. INTERESES

Hola a tod@s, hoy en la clase de matemáticas hemos dado las expresiones logarítmicas, el cambio de base y los porcentajes e intereses:


EXPRESIONES LOGARÍTMICAS.

-Si existe, el logaritmo de un número es único.

                                     loga M= loga N -- M=N

ejemplo;
                               log5 125= log5 x^3
                                log5 5^3= log5 x^3
                                        x=5


CAMBIO DE BASE.



ejemplo;         - log3 8= log 8/ log 3= 0´903/0´477= 1´89
                       
                       -log3 8= ln 8/ ln 3 = ´079/ 5´098 = 1´89


INTERESES

20% DE 80= 20x80/1000= 0,2x8= 16

INTERÉS SIMPLE


- Aumento periódico de un capital inicial
- Se aplica siempre al Ci;

           Cf= Ci(1 + RxT/100)
          capital final = capital inicial(1 + rédito x tiempo / 100)         


INTERÉS  COMPUESTO

- Aumento periódico de un Ci.
- El interés se aplica al final de casa periódo de liquidación.

               



                        

corrección de ejercicios

             CORRECCIÓN DE EJERCICIOS

  Hola a tod@s, hoy en clase hemos corregido los ejercicios 49 y 51 de la pagina    19 que mando  el día anterior.

 Despues nos mando  de deberes  el ejercicio 58 de la misma pagina

Logaritmos:

¡Hola a tod@s! Hoy en clase de matemáticas hemos explicado lo que son los logaritmos y 

sus características:

Si: a>0 y a no es igual a 1, el logaritmo de base a de un numero N>0 es el exponente al que hay que elevar a para obtener N.

loga x= n       aⁿ= X        Siendo a la base y X el argumento.

Ej:     log2 8=3 porque 2³=8

            

          log5 25=2 porque 5²=25

Propiedades de los logaritmos:

1) loga a=1

2) loga 1=0

3) loga (N·M)= loga N + loga M

4) loga (N:M)= loga N - loga M

5) loga Mr = r loga M

- Si a=10 se llama logaritmo decimal y se escribe log.

    Ej: log 100=2= log10 100=2

- Si a=e se llama logaritmo neperiano y se escribe ln.

También corregimos el ejercicio 46 de la pagina 17:

¡Hola a tod@s! Hoy en clase de matemáticas hemos corregido los ejercicios que habían mandado para el día anterior, que eran de la página 17 los ejercicios 44-45:              


                                

Más tarde, hemos realizado el ejercicio 46 de la página 17:

                                                       

                                                     

                                                                                                                                                                    Deberes para el 4 de octubre:

                      - Página 27 Ejercicios 110-111                                                     

¡Hola a tod@s! Hoy en clase de matemáticas hemos dado la racionalización;esto significa quitar las raíces que tenga el denominador.


Hay 2 tipos de casos:

1.Si hay una raíz sola,o con algo multiplicando:

    -En este caso se multiplica numerador y denominador por otra raíz que elimine la del denominador.

Aquí os dejo ejemplos:

2.Si hay una suma o resta con raíces en el denominador
   -Aquí hay que multiplicar el numerador y denominador por su conjugado(lo mismo con distinto signo).
¡OJO!:(a+b) (a-b)=a2-b2 

Aquí tenéis los ejemplos:

Tarea para mañana día 3 de octubre:
-Pag 17 ejercicios 44 y 45

Radicales y operaciones con radicales

¡Hola a todos! Hoy en clase de matemáticas hemos estudiado los radicales y a operar con ellos. Voy a explicarlos desde el principio para los que tengan dudas.

1- ¿Qué es un radical?

-Es la raíz indicada de un número, donde:

Además, pueden expresarse como una potencia de exponente fraccionario:

                                       

                                                  

2- Propiedades

3- Radicales equivalentes

-Dos radicales son equivalentes si representan el mismo número real.

Ejemplos: 

∜16 y √4 => ∜16 = 2 y √4 = 2 => Son equivalentes      

∛27 y √36 => ∛27 = 3 y √36 = 6 => No son equivalentes

4- Operaciones con radicales   

Suma y resta

¡¡Cuidado!! Tienen que tener la misma expresión radical.

Ejemplos: 

3·√2 + 2·√2 = 5·√2    |     5·∛8 - 3·∛8 = 2·∛8

Producto y cociente

Para multiplicar radicales, hay que hacer el mínimo común múltiplo de los índices para poder juntar los dos radicales en una única raíz.

Para dividir es exactamente igual, hacer m.c.m y se juntan en una sola raíz, con las propiedades que hemos estudiado.

Introducir y extraer un número en una raíz

Ejemplo:

2·∛3 = ∛2³·3     |      ⁶√2¹⁹ = 2³·√2 => porque hay que hacer una división: 19:6= 3 y de resto 1, por lo tanto, el dos queda elevado al cubo, y dentro de la raíz queda el dos.

Soluciones de los ejercicios corregidos:

Pág. 15 ej. 32              a) ∛24               b) ∜16                c) ⁵√3                 d) 2·√2 

Pág. 15 ej. 33              a) ¹²√2               b) ¹²√8 = ∜2       c)  ²⁴√2⁶ = ∜2     d) ⁸√64 = ⁶√2¹²   

Deberes:

Para mañana día 20, hay que hacer:

Pág. 17 ej. 42 y 43 

¡Un saludo!, ¡espero haber servido de ayuda!

Ayuda para operaciones con potencias y radicales

Como os comenté que íba a hacer en el blog os voy a poner unos materiales que os pueden servir de ayuda en este tema.

En el primero encontraréis una página con teoría sobre potencias y con ejercicios para hacer online que la misma página te corrige, puede veniros bien para practicar si tenéis duda sobre todo en lo más básico:

Vitutor

Por otro lado os pongo un vídeo con operaciones con potencias que explica muy claramente unos ejemplos:

Y para acabar otro con ejercicios de radicales:

Si pincháis sobre cualquiera de los vídeos donde pone Youtube podéis verlos directamente ahí. Si os fijáis en la parte derecha del vídeo hay muchos más relacionados con el tema que también son muy interesantes...

¡¡Ánimo!!

Notación científica

Hola  profe y mis compis de clase como os va 😉!!!

Voy a comentar un poco sobre la última clase que dimos, consiste en:

- Números reales: irracionales y racionales ( enteros y naturales).
-Intervalos:cerrado y abierto; semicerrado y semiabierto.
- Potencias de exponente entero.

Ahora voy a explicar la Notación científica.

 - Se usa para escribir números muy grandes o muy pequeños.
                                               
                       
          a, bc .  } *  n > 0  →  MUY GRANDE

                    * n < 0   →  MUY PEQUEÑO     

 EJEMPLO: 

            - 4,890000000= 4,89 · 10⁹
            - 0,00000005,2= 5,2 · 1e-8

-Algunos ejercicios hechos en clases.

ejercicio 10; pág. 11


              7< x y x >= 9      →    [ 9, ∾)

ejercicio 18; Pág. 18    ( NO SE PUDO HACER POR MAL COMPORTAMIENTO)

NÚMEROS REALES, INTERVALOS Y POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

Hoooooola!! Esto es lo que vimos el miércoles día 13 en clase. He añadido una imagen de la clasificación de los números reales, que corresponde a lo visto el día anterior, es decir, el martes 12. 

Miércoles 13. Tarea:

                                 -Pg 11 ej 10
                                 - Pg 12 ej 16 y 18

                                 

NÚMEROS REALES

 .

INTERVALOS

Un intervalo es el conjunto de números comprendidos entre dos puntos de la recta real.

Tipos:

- Intervalo abierto: no cogemos los extremos. Usamos paréntesis: (a,b). y... siempre  a < b

- Intervalo cerrado:  SÍ cogemos los extremos. Usamos corchetes. [a,b]

- Semiabiertos o semicerrados: 

- Casos particulares:   cuando tenemos infinito en uno de los extremos siempre ponemos abierto en esa parte del intervalo. El otro extremo puede ser abierto o cerrado.

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

a= base

n=exponente

- Propiedades de las potencias

PEEERO... OJO!!!

Como había mucha gente que no sabía hacer el ejercicio 18, voy a poner un apartado de cómo lo he hecho yo: (cuando pongo por ejemplo 3^2 quiero decir 3 elevado al cuadrado)

a) 2 · 16^2 · 32^(-7)= 2^x

    2· (2^4)^2 · (2^5)^(-7)=2^x          1º factorizo los números (por ejemplo, 16= 2^4)

    2·    2^8    ·    2^(-35)= 2^x          2º quito los paréntesis haciendo una potencia elevada a una potencia

       2^9        ·    2^(-35) = 2^-26       3º opero, multiplicación de potencias de la misma base (sumar                                                                                 exponentes). De esta manera obtengo que x= -26.

No sé qué tal me he explicado. Encima del ejercicio  18 hay una actividad resuelta, tal vez o sirva de ayuda.